Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 & - 4 & 4 3 & 5 & 5 9 & 10 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \\ 9 & 10 & 6 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 5 10 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 10 & 6 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 5 \cdot 6 - 10 \cdot 5

$a_{11} = 5 \cdot 6 - 10 \cdot 5$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

6

$6$ .

a_{11} = 30 - 10 \cdot 5

$a_{11} = 30 - 10 \cdot 5$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- 10

$- 10$ par

5

$5$ .

a_{11} = 30 - 50

$a_{11} = 30 - 50$

a_{11} = 30 - 50

$a_{11} = 30 - 50$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez

50

$50$ de

30

$30$ .

a_{11} = - 20

$a_{11} = - 20$

a_{11} = - 20

$a_{11} = - 20$

a_{11} = - 20

$a_{11} = - 20$

a_{11} = - 20

$a_{11} = - 20$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 9 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 3 \cdot 6 - 9 \cdot 5

$a_{12} = 3 \cdot 6 - 9 \cdot 5$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

6

$6$ .

a_{12} = 18 - 9 \cdot 5

$a_{12} = 18 - 9 \cdot 5$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- 9

$- 9$ par

5

$5$ .

a_{12} = 18 - 45

$a_{12} = 18 - 45$

a_{12} = 18 - 45

$a_{12} = 18 - 45$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez

45

$45$ de

18

$18$ .

a_{12} = - 27

$a_{12} = - 27$

a_{12} = - 27

$a_{12} = - 27$

a_{12} = - 27

$a_{12} = - 27$

a_{12} = - 27

$a_{12} = - 27$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 9 & 10 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 9 & 10 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 3 \cdot 10 - 9 \cdot 5

$a_{13} = 3 \cdot 10 - 9 \cdot 5$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

10

$10$ .

a_{13} = 30 - 9 \cdot 5

$a_{13} = 30 - 9 \cdot 5$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

- 9

$- 9$ par

5

$5$ .

a_{13} = 30 - 45

$a_{13} = 30 - 45$

a_{13} = 30 - 45

$a_{13} = 30 - 45$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

45

$45$ de

30

$30$ .

a_{13} = - 15

$a_{13} = - 15$

a_{13} = - 15

$a_{13} = - 15$

a_{13} = - 15

$a_{13} = - 15$

a_{13} = - 15

$a_{13} = - 15$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

a_{21}

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & 4 10 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 10 & 6 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = - 4 \cdot 6 - 10 \cdot 4

$a_{21} = - 4 \cdot 6 - 10 \cdot 4$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

6

$6$ .

a_{21} = - 24 - 10 \cdot 4

$a_{21} = - 24 - 10 \cdot 4$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

- 10

$- 10$ par

4

$4$ .

a_{21} = - 24 - 40

$a_{21} = - 24 - 40$

a_{21} = - 24 - 40

$a_{21} = - 24 - 40$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez

40

$40$ de

- 24

$- 24$ .

a_{21} = - 64

$a_{21} = - 64$

a_{21} = - 64

$a_{21} = - 64$

a_{21} = - 64

$a_{21} = - 64$

a_{21} = - 64

$a_{21} = - 64$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

a_{22}

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 4 9 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 5 \cdot 6 - 9 \cdot 4

$a_{22} = 5 \cdot 6 - 9 \cdot 4$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

6

$6$ .

a_{22} = 30 - 9 \cdot 4

$a_{22} = 30 - 9 \cdot 4$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

- 9

$- 9$ par

4

$4$ .

a_{22} = 30 - 36

$a_{22} = 30 - 36$

a_{22} = 30 - 36

$a_{22} = 30 - 36$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez

36

$36$ de

30

$30$ .

a_{22} = - 6

$a_{22} = - 6$

a_{22} = - 6

$a_{22} = - 6$

a_{22} = - 6

$a_{22} = - 6$

a_{22} = - 6

$a_{22} = - 6$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

a_{23}

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & - 4 9 & 10 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 9 & 10 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 5 \cdot 10 - 9 \cdot - 4

$a_{23} = 5 \cdot 10 - 9 \cdot - 4$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

10

$10$ .

a_{23} = 50 - 9 \cdot - 4

$a_{23} = 50 - 9 \cdot - 4$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

- 9

$- 9$ par

- 4

$- 4$ .

a_{23} = 50 + 36

$a_{23} = 50 + 36$

a_{23} = 50 + 36

$a_{23} = 50 + 36$

Étape 2.6.2.2.2

Additionnez

50

$50$ et

36

$36$ .

a_{23} = 86

$a_{23} = 86$

a_{23} = 86

$a_{23} = 86$

a_{23} = 86

$a_{23} = 86$

a_{23} = 86

$a_{23} = 86$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

a_{31}

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & 4 5 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = - 4 \cdot 5 - 5 \cdot 4

$a_{31} = - 4 \cdot 5 - 5 \cdot 4$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

5

$5$ .

a_{31} = - 20 - 5 \cdot 4

$a_{31} = - 20 - 5 \cdot 4$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

4

$4$ .

a_{31} = - 20 - 20

$a_{31} = - 20 - 20$

a_{31} = - 20 - 20

$a_{31} = - 20 - 20$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez

20

$20$ de

- 20

$- 20$ .

a_{31} = - 40

$a_{31} = - 40$

a_{31} = - 40

$a_{31} = - 40$

a_{31} = - 40

$a_{31} = - 40$

a_{31} = - 40

$a_{31} = - 40$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

a_{32}

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 4 3 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot 4

$a_{32} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot 4$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

5

$5$ .

a_{32} = 25 - 3 \cdot 4

$a_{32} = 25 - 3 \cdot 4$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

- 3

$- 3$ par

4

$4$ .

a_{32} = 25 - 12

$a_{32} = 25 - 12$

a_{32} = 25 - 12

$a_{32} = 25 - 12$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez

12

$12$ de

25

$25$ .

a_{32} = 13

$a_{32} = 13$

a_{32} = 13

$a_{32} = 13$

a_{32} = 13

$a_{32} = 13$

a_{32} = 13

$a_{32} = 13$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

a_{33}

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & - 4 3 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot - 4

$a_{33} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot - 4$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

5

$5$ .

a_{33} = 25 - 3 \cdot - 4

$a_{33} = 25 - 3 \cdot - 4$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

- 3

$- 3$ par

- 4

$- 4$ .

a_{33} = 25 + 12

$a_{33} = 25 + 12$

a_{33} = 25 + 12

$a_{33} = 25 + 12$

Étape 2.9.2.2.2

Additionnez

25

$25$ et

12

$12$ .

a_{33} = 37

$a_{33} = 37$

a_{33} = 37

$a_{33} = 37$

a_{33} = 37

$a_{33} = 37$

a_{33} = 37

$a_{33} = 37$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

-

$-$ positions on the sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 20 & 27 & - 15 64 & - 6 & - 86 - 40 & - 13 & 37 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 20 & 27 & - 15 \\ 64 & - 6 & - 86 \\ - 40 & - 13 & 37 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 20 & 27 & - 15 64 & - 6 & - 86 - 40 & - 13 & 37 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 20 & 27 & - 15 \\ 64 & - 6 & - 86 \\ - 40 & - 13 & 37 \end{array}]$